Matematicas: enero 2013

jueves, 17 de enero de 2013

Matemáticas ( Funciones Cuadráticas)

Funciones Cuadráticas( Definición, Representación Analítica y Representación Gráfica)

Definición.

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Representación Analítica.

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

[editar]Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

con $a \neq 0$ .

[editar]Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, y $x_1$ y $x_2$ las raíces de $f(x)$ . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_1 = x_2$ por lo que la factorización adquiere la forma:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a $x_1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

[editar]Forma Canónica.

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación Gráfica.

Corte con el eje y.

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x.

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

$y = ax^2 + bx + c \,$

se tiene que:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Matemáticas( Operaciones con Ecuaciones e Inecuaciones)

Ecuación(Definición, Tipos de Ecuaciones)

Definición.

En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

Tipos de ecuaciones.

Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

Ecuaciones algebraicas
- Polinómicas o polinomiales
- De primer grado o lineales
- De segundo grado o cuadráticas
- Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios
Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.
- Diofánticas o diofantinas
Ecuaciones diferenciales
- Ordinarias
- En derivadas parciales
Ecuaciones integrales

Inecuacion( Definición, Clasificación)

Definición.

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.Si la desigualdad es del tipo $<$ o $>$ se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo $\le$ o $\ge$ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todos las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .
Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .

Clasificación.

Los criterios más comunes de clasificación de las inecuaciones son:

Según el número de incógnitas,
- De una incógnita. Ejemplo: $x<0$ .
- De dos incógnitas. Ejemplo: $x<y$ .
- De tres incógnitas. Ejemplo: $x<y+z$ .
- etc.

Según la potencia de la incógnita,
- De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: $x+1<0$ .
- De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: $x^2+1<0$ .
- De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: $x^3+y^2<0$ .

miércoles, 16 de enero de 2013

Matemáticas(Operaciones Basicas)

Operaciones básicas ( Suma,Resta, Multiplicación, División)

En matemáticas básicas hay muchas maneras de llamar a las mismas cosas. Hemos reunido algunas aquí

Símbolo	Palabras que se usan
+	Suma, adición, más, juntar, incrementar, total
-	Resta, sustraer sustracción, menos, diferencia, decrecer, disminuir, quitar, deducir
×	Multiplicación, multiplicar, producto, por, veces
÷	División, dividir, cociente, cuántas veces cabe

Sumar es...

Juntar dos o más números (o cosas) para hacer un nuevo total.

Los números que se suman se llaman "sumandos":

Restar es...

Quitar un número de otro.

Minuendo - Sustraendo = Diferencia
Minuendo: el número al que se le quita algo. Sustraendo: el número que se quita. Diferencia: el resultado de restar un número menos otro.

Multiplicación es...

(en su forma más simple) sumas repetidas.

Aquí vemos que 6+6+6 (tres 6s) hacen 18

También podemos decir que 3+3+3+3+3+3 (seis 3s) hacen 18

Pero puedes multiplicar por fracciones o decimales, eso va más allá de la simple idea de sumas repetidas:

Ejemplo: 3.5 × 5 = 17.5

que quiere decir 3.5 veces 5, o 5 veces 3.5

División es...

Repartir en partes o grupos iguales. Es el resultado de un "reparto equitativo".

La división tiene su propias palabras que aprenderse.

Tomemos el sencillo problema de dividir 22 entre 5. La respuesta es 4, y sobran 2. Aquí te mostramos los nombres más importantes:

O lo que es lo mismo:

Matemáticas(Definición,para que sirve,etc)

Matemáticas(Definición)

Las matemáticas o matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

¿Para que sirven las matemáticas?

Las matemáticas son la principal herramienta con que han contado los seres humanos para

entender el mundo que les rodea. De la misma manera, resultaría difícil pensar en algún desarrollo tecnológico realizado al margen de las matemáticas, las cuales son utilizadas todo el tiempo para resolver una gran variedad de problemas de la vida real. Por si esto fuera poco, resulta que son divertidas, y para algunos hombres y mujeres, les resultan incluso fascinantes.