Matemáticas ( Funciones Cuadráticas)

Funciones Cuadráticas( Definición, Representación Analítica y Representación Gráfica)

Definición.

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Representación Analítica.

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

[editar]Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

con .

[editar]Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

siendo a el coeficiente principal de la función, y  y  las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces  por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a  se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

[editar]Forma Canónica.

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación Gráfica.

Corte con el eje y.

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x.

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

se tiene que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).